군론 공부_1. 군이란 무엇인가?

군론

어렸을 때 책에서 본 적이 있지만, 겉핥기로 읽었거나 그 당시에는 중요성이 와닿지 않아서 그랬는지 많은 부분 중 가장 임팩트가 없었던 부분으로 기억한다.
그런데 전산학에서 이 군론이 어마무시하게 중요하다는 말을 듣게 되었다. 다양한 알고리즘의 고안에 도움이 된다고 한다.
아직 군론이 뭔지 정확하게 모르기 때문에 왜 중요한지는 아직 와닿지 않는다. 하지만 너무나 궁금했기에 군론과 추상대수학 공부를 시작했다.
막상 공부를 하려니 마른 땅에서 싹을 찾는 것처럼 이 분야 책이 나오질 않았다. 그러다 겨우 찰스 핀터의 '알기 쉬운 추상 대수학'을 발견하여 바로 구입하였다. 전공서만큼 두꺼운거 치고는 꽤 알기 쉬운 편이었다. 앞으로 군론 공부를 해가면서 이 책의 내용을 알게 모르게 많이 언급할 것 같다.

 

대수학

 

수학을 전공하지 않은 사람이나 전공할 생각이 있어도 현재 올림피아드 등으로만 접해본 학생이라면 미지수와 변수, 방정식, 부등식, 인수분해, 함수 등이 머리에 떠오를 것이다. 그런데 그것은 빙산의 일각이요, 심지어 '수'에 대해서만 다루고 있었던 것이다. 대한민국 교육과정에는 없는 내용이지만(다음 교육과정에는 고등과정에 추가된다는 말도 있다만...) 행렬도 연산을 할 수 있고, CS(컴퓨터과학)를 조금이라도 배운 사람이라면 누구든지 알 True와 False, 즉 Bool 대수도 연산을 할 수 있다. 이 둘은 수가 아니지만, 분명 연산을 할 수 있다. 이들에 대해서도 수처럼 우리가 알던 대수학과 비슷한 학문을 쌓아갈 수 있다.
이런 다양한 예시들을 통해 대수학은 '수'들 사이의 연산관계보다 훨씬 더 다양한 요소들의 연산을 다룬다. 이런 통찰을 통해, 대수학은 새로운 정의가 내려졌다. 연산이 정해진 집합, 즉 '대수적 구조'를 연구하는 것이 대수학이다.

 

연산

 

X라는 집합의 임의의 원소 a, b에 대해 !라는 연산을 가했을 때,

1. a!b가 정의되어야 함.
2. a!b는 유일해야 함.
3. a!b는 X에 속해야 함. (!연산에 대해 닫혀있다고 표현한다)

간단하고 직관적으로 이해되지만 우리가 알고있는 더하기, 곱하기 등의 연산은 이를 만족한다. 뺄셈, 나눗셈은 적어도 자연수에서는 3번 규칙을 만족하지 못해 연산이 성립하지 못한다.

 

군

 

군은 연산을 통해 정의되는 집합이다. !연산에 대해 군 G가 있다 하자. 군은 다음의 네 성질이 성립해야만 한다. 왜 하필 이 넷인지는 나도 잘 모른다.

1. !에 대해 결합법칙이 성립한다.
a!(b!c) = (a!b)!c. 괄호를 어디에 씌우나, 즉 어디를 먼저 계산하는지에 관계없이 결과는 동일해진다.
2. G의 모든 원소 a에 대해 a!e = e!a = a인 G의 원소 e가 존재한다.
이때 이 e를 항등원이라 부른다.
3. G의 모든 원소 a에 대해 a!z = z!a = e인 G의 원소 z가 존재한다.
이때 z를 a의 역원이라고 부른다.

4. 군은 연산 !에 대해 닫혀 있다.

즉, 군 G 안의 원소 a, b에 대해 a!b도 G 안에 무조건 속해야 한다. 

내가 보는 책에서는 연산의 정의를 집합에 닫혀있다고 미리 선언했기 때문에 1, 2, 3번 조건만 존재했다. 다만, 집합에 따라서 연산의 닫혀있음이 달라질 것이기 때문에 군의 조건에 포함시켰다.

더하기를 예시로 살펴보자.
1. 결합법칙
1+(2+3) = 1+5 = 6
(1+2)+3 = 3+3 = 6
이 내용은 중학교 1학년 과정이기도 하고, 조금은 상식적인 내용이기도 해서 많은 사람들이 알고 있을 것이다.
2. 항등원
그 어떤 수에 0을 더해도 변하지 않는다. 0은 더하기의 항등원이다.
3. 역원
역원의 존재성에 의해 자연수 집합은 더하기에 대한 군이 되지를 못한다. (사실 항등원 0 때문에 2번에서도 걸러졌어야 했다)
정수 집합까지는 가야 역원이 존재한다.
어떤 정수의 부호를 반대로 하면 그 역원이 되어, 더하기 연산을 하면 항등원 0이 결과로 도출된다.
1+(-1) = 0

나머지 연산인 모듈러 연산에 대해서도 군을 발견할 수 있다. 나무위키를 둘러보니 큐브의 움직임에 대해서도 군은 정의할 수 있다는데... 결합법칙을 성립하게 연산을 만드려면 아마 큐브를 돌리는 순서가 중요히 작용할 것 같다.