군론 공부 5_ 준동형사상의 기본 정리

1. 사상

'사상'이란 두 집합의 원소들을 특정한 함수로 서로 대응시키는 것을 의미한다.

예를 들어 {1, 2, 3}에서 함수

(홀수)$\to$1

(짝수)$\to$0

를 이용해 {0, 1}을 만드는 것은 {1, 2, 3}에서 {0, 1}로의 사상이 된다.

 

 

2. 준동형사상

군과 군 사이에도 역시나 사상을 취할 수 있다. 이때 '준동형사상'이라는 특별한 사상을 만드는 것도 가능하다. 두 군 G, H에 대하여 f: G$\to$H가 아래 조건을 만족할 때 f를 준동형사상이라고 한다.

 

G의 임의의 원소 x, y에 대해 f(xy) = f(x)f(y)

(단, 좌변은 G의 연산으로 xy를, 우변은 H의 연산으로 f(x)f(y)를 계산)

 

그리고 f가 G에서 H로의 전사함수, 즉 H의 모든 원소들에 대해 각 원소를 f(x) 꼴로 나타낼 수 있는 임의의 G의 원소 x가 존재할 때 H를 G의 준동형상이라고 한다. 특별히 f가 전단사함수일 때는 f를 동형사상이라고 하고, 기호로는 $G\cong H$로 표현하며, 이때 G와 H는 사실상 같은 구조를 가지게 된다.

 

 

준동형사상은 아래와 같은 두 성질을 가진다.

1. f(e) = e
2. $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$

 

 

준동형사상이 가지는 의미는 특정한 군에서 필요한 성질만을 남기고 단순화할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 덧셈을 연산으로 하는 정수군 Z에 위의 홀수를 1로 짝수를 0으로 보내는 함수를 취하면 {0, 1}로 사상을 할 수 있다. 이때 군이 되기 위하여 {0, 1}의 연산은 1+1=0+0=0, 1+0=0+1=1로 정한다. {0, 1}이 Z의 준동형상임은 어렵지 않게 알 수 있다. 이때 Z에서 {0, 1}로 사상이 이루어지면 정수의 다른 성질들은 대부분 다 잃지만 {0, 1}에서도 남아있는 '홀짝성'만큼은 잃지 않는다. 이와 같이 어떤 군 G와 다른 특별한 군 H가 준동형사상의 관계라면, G에서 H가 가지고 있는 특성들에만 집중할 수도 있고, 또는 반대로 H에서 이미 증명된 여러 성질들을 G로 가지고 올 수도 있다는 점에서 활용성이 높다고 생각된다.

 

 

3. 준동형사상의 기본 정리

그럼 준동형사상은 어떤 특별한 틀이나 규칙이 있을까? 준동형사상의 기본 정리가 이걸 제공해준다.

우선 정리를 이해하기 위해서는 몇 가지 정의를 알아야 한다.

 

 

- 먼저, 잉여류에 대해서 알아보자. 잉여류란 다음과 같이 정의된다.

 

H가 G의 부분군일 때, G의 원소 a에 대해

잉여류 Ha = { x | x = ha, h는 H의 임의의 원소}

 

즉, 한 원소와 어떤 부분군의 원소들을 (일정한 순서로) 각각 연산한 것의 모음이 잉여류다. 잉여류 사이에는 곱셈을 정의할 수 있는데, $Ha\cdot Hb = H(ab)$로 정의된다. 이때 $Ha=Hc,\ Hb=Hd\ 일\ 때\ Ha\cdot Hb=Hc\cdot Hd$가 항상 성립하지 않으므로 제대로 된 연산이라고는 보기 힘들다.

 

 

- 둘째는 정규부분군에 대해 소개하겠다. 우선 켤례 원소라는 것을 정의하자면, G의 원소 a에 대하여 x $\in$ G인 x에 대해 $xax^{-1}$ 꼴로 나타내지는 원소들을 나타낸다. 그러면 정규부분군 H의 성질은 다음과 같다.

 

임의의 $a \in H$와 $x \in G$에 대해 $xax^{-1} \in H$이다.

 

즉, H의 모든 켤례 원소가 H 내에 있을 때 H를 정규부분군이라고 한다. 정규부분군에서는 위의 $Ha=Hc,\ Hb=Hd\ 일\ 때\ Ha\cdot Hb=Hc\cdot Hd$이 성립한다. 이때 특정한 부분군 H에 대하여 H의 모든 나머지류를 집합으로 하고 나머지류 곱셈을 연산으로 하는 몫군을 만들 수 있다. 몫군은 기호로 G/H로 표시한다. 이때 G/H는 f(x) = Hx를 함수로 하는 G의 준동형사상이다.

 

 

- 마지막으로 준동형사상의 핵이 무엇인지 알아보자. 핵은 다음과 같이 주어진다.

 

$f: G \to H$의 준동형사상에서, 핵 $K = \{ x | x \in G\ and\ f(x) = e \}$

 

즉, 핵은 f로 대응시켰을 때 H의 항등원이 나오는 모든 G의 원소의 집합이다. 이때 준동형사상의 핵은 정규부분군이 된다. 이는 간단한 증명으로 확인 가능하다.

pf) (부분군에 대한 증명은 생략) $f(xax^{-1}) = f(x)f(a)f(x^{-1}) = f(x)ef(x^{-1}) = f(x)f(x)^{-1} = e로 $xax^{-1}\in K$

 

 

준동형사상의 기본 정리는 군 G의 모든 준동형사상은 몫군 G/K와 동형임을 의미한다. 즉, H가 G의 준동형상이고 그 핵이 K일 때, $$H\cong G/K$$이다. 아래부터는 이 정리의 증명과 증명에 필요한 보조정리들의 증명이다.

 

보조정리 1. 정규부분군 H에서 aH = Ha

pf) $x\in aH$인 임의의 x에 대해 x를 $h \in H$인 h에 대해 $x\ =\ ah$로 표현하자. 이때 H가 정규부분군이므로 $aha^{-1}\ \in\ H$, 이때 $x = ah = (aha^{-1})a \in Ha$

 

보조정리 2. 정규부분군에서만 $Ha=Hc,\ Hb=Hd\ 일\ 때\ Ha\cdot Hb=Hc\cdot Hd$

pf) $a\in Hc$, $b\in Hd$이므로 $h_1,\ h_2\in H$에 대해 $a = h_1 c$, $b = h_2 d$로 나타내자. 이때 $ab = h_1 (ch_2) d$에서 보조정리 1에 의해 $ch_2\in cH = Hc$이므로 $ch_2 = h_3c,\ h_3\in H$로 나타낼 수 있으므로 $ab = h_1h_2(cd) \in H(cd)$이다. 이때 임의의 Hab의 원소 x에 대하여 $x = hab, h\in H$로 나타낸다면 $x = hh_1h_2(cd) \in H(cd)$이므로, $H(ab) \subset H(cd)$다. 반대로 $H(cd) \subset H(ab)$이기도 하므로 정규부분군에서는 $H(ab) = H(cd)$이다.

이는 정규부분군에서 잉여류 곱셈이 연산으로 정의됨을 의미한다.

 

보조정리 3. $f: G\to H$의 준동형사상에서 $f(a) = f(b)\Longleftrightarrow Ha = Hb$

pf) $f(a) = f(b)\Longleftrightarrow (a)\{f(b)\}^{-1}=e\Longleftrightarrow f(ab^{-1}) = e\Longleftrightarrow ab^{-1}\in H$.

이때 어떤 $h\in H$에 대해 $ab^{-1} = h$이고, $a=hb\in Hb$. Ha 안의 임의의 원소 $x = h_1a$는 a를 $a = h_2b$로 표현할 수 있음으로서 $x = h_1h_2b = (h_1h_2)b \in Hb$, $Ha\subset Hb$. 똑같은 과정을 Ha와 Hb를 반전시켜 진행해주면, $Hb\subset Ha$이므로 $Ha = Hb$. 반대로 $Ha = Hb$이면 Ha의 임의의 원소 $h_1a\in Hb$이므로 $h_1a=h_2b$로 둘 수 있고, $ab^{-1} = {h_1}^{-1}h_2\in H$. 따라서 $ab^{-1}\in H\Longleftrightarrow Ha = Hb$

따라서 $f(a) = f(b) \Longleftrightarrow Ha = Hb$

 

준동형사상의 기본 정리 pf)

$f:G\to H$에서 G의 준동형상 H와 그 핵에 대한 몫군 $G/K$에 대해서, $x\in G$에 대해 각 잉여류 $Kx$를 H의 원소들에 일대일 대응시켜야 한다. 어떤 x에 대해 Kx의 임의의 원소 kx($k\in K)를 정하면, f(kx) = f(k)f(x) = f(x)가 된다. 여기서 함수 $g(Kx) = f(x)$로 함수 g를 정의하자. 임의의 a, b에 대해 Ka = Kb일 때 f(a) = f(b), 즉 G(Ka) = G(Kb)이므로 g는 잘 정의된다. 이때 g가 전단사임을 보이자.

1. $a,\ b\in G$에 대해 $g(Ka) = g(Kb)$일 때, f(a) = f(b)가 되고, 이때 보조정리 3에 의해 Ka = Kb가 되어 g는 단사 함수다.

2. 공역의 어떤 f(x)든 Kx로 정의역의 원소를 대응시킬 수 있으므로 g는 전사 함수다.

3. 그리고 동형사상의 정의를 완성시키기 위해 g(Ka)g(Kb) = f(a)f(b) = f(ab) = g(K(ab)), 이때 보조정리 2에 의해 정규부분군인 K의 잉여류간 곱셈이 정의되므로 g(Ka)g(Kb) = g(K(ab)) = g(K(a)K(b)).

따라서 H와 G/K는 동형이다.